C'est à partir des observations (mesures) que nous essayons d'ajuster les paramètres des modèles qui décrivent les systèmes physiques que nous étudions. Les « Méthodes Inverses » fournissent les outils mathématiques indispensables à cette opération, qui permet de remonter des observations (données) vers les modèles. L'ajustement d'une simple droite des « moindres carrés » ou l'obtention d'une image tridimensionnelle de la répartition des vitesses des ondes sismiques à l'intérieur de la Terre, sont des exemples plus ou moins simples d'application des « méthodes inverses ».
Le cours est organisé en quatre sections bien distinctes. La première partie présente la solution de problèmes linéaires par la méthode de l’inverse généralisée, basée sur la décomposition en vecteurs propres. Des concepts tels que problème sur ou sous-déterminé, covariance, résolution, information, erreur, etc. sont introduits. La deuxième partie du cours est consacrée à l'inverse stochastique généralisée. Ici un problème inverse (pas nécessairement linéaire) est posé et résolu en termes de densités de probabilité. Cette approche permet en particulier d'introduire la notion d'information a priori. Le résultat est donné sous forme d’une densité de probabilité dans l’espace des modèles. La troisième partie est une introduction aux méthodes locales d’optimisation non linéaire (e.g. méthode de Newton, de quasi-Newton, etc.). Ce sont des méthodes itératives vouées à la recherche du modèle le plus probable. La dernière partie du cours présente les méthodes dites de Monté-Carlo qui permettent de résoudre des problèmes fortement non linéaires par échantillonnage l’espace des modèles.

It is from observations (measurements) that we try to retrieve the parameters of the models that describe the physical systems we study. The “ Inverse Methods ” provide the mathematical tools essential to this operation, which make it possible to move from the ob servations (data) to the models. The adjustment of a simple line by “ least squares ” or obtaining a three-dimensional image of the distribution of seismic wave velocities inside the Earth, are more or less simple examples of the application of “ inverse methods ”. The course is organized into four distinct sections. The first part presents the solution of linear problems by the generalized inverse method, based on eigenvector decomposition. Concepts such as over- or underdetermined problem, covariance, resolution, information, error, etc. are introduced. The second part of the course is devoted to the generalized stochastic inverse. Here an inverse problem (not necessarily linear) is posed and solved in terms of probability densities. This approach makes it possible in particular to introduce the notion of a priori information. The result is given as a probability density in the model space. The third part is an introduction to local methods of nonlinear optimization (e.g. Newton's method, quasi-Newton's method, etc.). These are iterative methods aimed at finding the most likely model. The last part of the course presents the so-called Monte-Carlo methods that allow to solve strongly nonlinear problems by sampling the space of the models.


A la fin de ce cours, vous serez capable de :
 

• Reconnaître les situations où les concepts et les méthodes associées aux “ méthodes inverses » sont applicables.
• Estimer les valeurs des paramètres (modèle) à partir de vos mesures et de leur marge d’erreur.
• Propager les marges d’erreur de vos mesures pour estimer des incertitudes sur les paramètres estimés.
• Générer une population représentative d’une densité de probabilité donnée.

• Recognize situations where the concepts and methods associated with the « inverse problem theory ” are applicable.
• Estimate parameter values (model) from your measurements and their margin of error. Propag ate the data uncertainties to estimate uncertainties on the model parameters.
• Generate a population representative of a given probability density.

• Apprendre à reconnaître les problèmes qui peuvent être traités avec la théorie des méthodes inverses.
• Apprendre à poser et à résoudre un problème inverse.

• Learn to recognize problems that can be addressed with inverse problem theory.
• Learn how to ask and solve an inverse problem.