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Analyse : Intégration et séries numériques

  • Cours (CM) 26h
  • Cours intégrés (CI) -
  • Travaux dirigés (TD) 45h
  • Travaux pratiques (TP) -
  • Travail étudiant (TE) -

Langue de l'enseignement : Français

Niveau de l'enseignement : B2-Avancé - Utilisateur indépendant

Description du contenu de l'enseignement

Suites de Cauchy.

Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un intervalle compact et à valeurs complexes : - L’espace vectoriel de ces fonctions. Norme infinie. - Equi-subdivisions et fonctions en escaliers. Densité de ces fonctions dans l’espace des fonctions continues. - Sommes de Riemann et intégrale d’une fonction continue (par morceaux). Propriétés de l’intégrale : linéarité, inégalité triangulaire, relation de Chasles, stricte croissance : - Théorème fondamental du calcul différentiel et intégral. Corollaires : formule du changement de variables, intégration par parties. - Pratique du calcul, détermination de primitives de fractions rationnelles. [Théorème de Liouville (admis) sur l’existence de primitives symboliques aux formules du type A(X)expB(X) avec A, B rationnelles.] - Intégrales généralisées. Convergence absolue et critère d’Abel.
Séries : - Séries numériques. Critères de convergences usuels (Cauchy, d’Alembert). - Convergence absolue. Comparaison série/intégrale. Echelle de Riemann et de Bertrand. - Formule sommatoire d’Abel et séries alternées. - Série semi-convergentes et théorème de permutation de Riemann.

 

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